Cпособи побудування правильних багатогранників
DOI:
https://doi.org/10.33216/1998-7927-2023-278-2-106-111Ключові слова:
перетин, прямокутник, правильний багатогранник, куб, ікосаедр, додекаедр, AutoCADАнотація
У статті розглядається побудова 3D-моделі додекаедра за допомогою прямокутників з відношенням сторін на основі золотого перерізу. Наведено побудову двоїстих фігур: ікосаедра та додекаедра, вписаних у куб і описаних біля нього, а також їх каскаду з використанням прямокутників зі сторонами пропорції золотих перетинів в AutoCAD. У статті використовується поняття «правильний багатогранник». Що це? Правильний багатогранник - це опуклий багатогранник, кожна грань якого правильний p-кутник і в кожній її вершині сходиться однакове число q таких граней. Ікосаедр - це геометричне тіло з двадцяти граней, кожна з яких правильний трикутник. Додекаедр це геометричне тіло з дванадцяти граней, кожна з яких має правильний п'ятикутник. Ці багатогранники належать до правильних багатогранників. Існують різні версії їх використання: свічники, гральні кістки, інструмент для калібрування водяних труб (для цього круглі отвори мають різний діаметр) як наочний навчальний посібник для вивчення основ академічного рисунка. Відомі багаточисельні способи побудови правильних багатогранників і найбільш складних з них - ікосаедра та додекаедра. Серед них особливий інтерес викликав спосіб побудови ікосаедра на основі золотих прямокутників з відношенням сторін золотого перетину (відношення цілого до більшої частини). Цей спосіб, що відрізняється простотою, витонченістю та внутрішньою гармонією вивчений недостатньо, тому що не поширений на додекаедр, який будується як фігура, подвійна ікосаедру. Мета роботи: доповнити спосіб побудови за допомогою прямокутників з відношенням сторін на основі золотого перетину для додекаедра. Побудови виконувались в графічному редакторі AutoCAD [1], але можуть бути повторені і в інших відомих САПР. Алгоритм побудови ікосаедра на основі золотих прямокутників наступний: вставляється один в інший три рівні прямокутники перпендикулярно один одному по серединній паралелі, залишається тільки з'єднати найближчі вершини одна до одної. Щоб побудувати додекаедр, потрібно з'єднати центри граней ікосаедра. Існує багато способів побудови правильних багатокутників: можна вписати їх у сферу або описати біля неї; використовувати послідовне каскадне вписування-описування щодо один одного (число можливих каскадів дорівнює 5! = 120); побудувати фігури на основі куба (наприклад, додекаедр способом «дахів», запропонованим Евклідом); з використанням пропорцій золотих перетинів; із застосуванням формул або тільки на основі геометричних побудов та інших. Можна створити плоске зображення чи об'ємну модель на комп'ютері.
Посилання
1. Инженерная 3D-компьютерная графика: учебник и практикум для академического бакалавриата/А.Л. Хейфец, А.Н. Логиновский, И. В. Буторина, В.Н. Васильева; под ред.А.Л. Хейфеца. 3-еизд., перераб. и доп.М.: Юрайт, 2015. 602с.
2. Тимченко А. А. Основи системного проектування та системного аналізу складних об’єктів: Основи САПР та системного проектування складних об’єктів: Підручник / за ред. В. І. Бикова. 2-ге вид. К.: Либідь, 2003. 272 с.
3. Шаль М. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов [Электронный ресурс]. Т. 2. М.: Моск. мат. о-во, 1883. 748 c.
4. Кольман Э. История математики в древности [Электронный ресурс]. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961. 235 с.
5. Стахов А. П. Математика гармонии: Инновации в информационных технологиях, в основаниях математики, в образовании [Электронный ресурс]. Интернет-журнал «Науковедение». 2012. № 4. С. 98.
6. Щетников А. И. Лука Пачоли и его трактат «О божественной пропорции» [Электронный ресурс]. Математическое образование. 2007. № 1 (41). С. 33–44.
7. Пространственное моделирование твердотельных правильных многогранников (тел Платона) в системе AutoCAD [Электронный ресурс]. П. В. Бездетко [и др.]. Наука и прогресс транспорта. Вестник Днепропетровского национального университета железнодорожного транспорта. 2009. № 27. С. 167–170.
8. Karpyuk L. V., Davydenko N. O. Modeling in Au-toCAD for bachelors. Bicник Східноукр. нац. ун-ту ім. В. Даля. 2020. № 1 (265). С. 25-28.
9. Тимченко А. А. Основи системного проектування та системного аналізу складних об’єктів: Основи САПР та системного проектування складних об’єктів: Підручник. / К.: Либідь, 2003. 272 с.
10. Мурач М. М. Алгебра золотої пропорції в застосуваннях : навч. посіб. для студ. вищ. пед. навч. закл. Ін-т змісту і методів навч.; Черніг. держ. пед. ун-т ім. Т. Г. Шевченка. Чернігів, 1999. 116с.
